*** Asymptote oblique

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(]-\infty\ ;\ -2[ \cup]-2\ ;+\infty[\)  par \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+3x+1}{x+2}\) .

1. a. Déterminer les limites de la fonction \(f\)  aux bornes de son ensemble de définition.
    b. La courbe représentative de la fonction \(f\)  admet-elle une ou des asymptotes ? Préciser, le cas échéant, une équation de l'asymptote.

2. a. Calculer \(f'(x)\) .
    b. Étudier les variations de \(f\)  et dresser le tableau complet des variations de \(f\) .

3. On note \(\Delta\)  la droite d'équation \(y=x+1\) .
    a. Montrer que, pour tout réel \(x \neq -2,\ f(x)-(x+1)=\displaystyle\frac{-1}{x+2}\) .
    b. Déterminer \(\lim\limits_{x \to -\infty}|f(x)-(x+1)|\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}|f(x)-(x+1)|\) .
    c. Que peut-on en déduire graphiquement ?

4. Étudier la position relative de \(\mathscr{C}_f\)  et de \(\Delta\) .